Moc wydzielana w rezystorze - problem z zadaniem.

[Robert95]

Witam.
Mam niemały problem z zadaniem, którego treść przedstawiam poniżej:
Wykaż, że cała moc średnia dostarczana do układu wydziela się na rezystorze. Dowód przeprowadź obliczając wartość (U_r)^2/R. Jaka moc (w watach) wydzieli się w układzie złożonym z szeregowo połączonych kondensatora 1µF i rezystora 1kΩ dołączonym do sieci oświetleniowej 110 V (wartość skuteczna), 60Hz?

Źrodło napięciowe jest opisane równaniem Uo*cosωt.

Mam wiele pomysłów, ale nie wiem który jest dobry. Skorzystać z prawa Kirchoffa? Może wyjść ze wzoru podanego w zadaniu, ale znów mam wątpliwość jaki spadek napięcia zanotujemy na rezystorze (U_r) ? Jestem początkującym elektronikiem, a w szczególności w obwodach prądu przemiennego (AC).

Prosiłbym o nakierowanie mnie na prawidłowy sposób rozumienia, absolutnie nie chciałbym aby ktoś podawał gotowe rozwiązanie ! Chciałbym rozwiązać to samemu, jednak mam zbyt dużo wątpliwości - w tym tkwi problem.
Pozdrawiam.

[rafal.220]

Było to kiedyś w technikum...
ω = 2 Πf
xC = 1/ωC
Z = √ R² + xC²
P = U/Z
Dawno to było i troszku mogłem zapomnieć.

[Robert95]

Podstawowe wzory znam, więc bez obaw.
Chodzi generalnie o to, że w książce "sztuka elektroniki" pojawiają się wzory z liczbami zespolonymi, całkowaniem itp. Matematykę ogarnę, choć w 2 klasie technikum tego nie było. Przechodząc do meritum, chodzi mi o nakierowanie na drogę postępowania, gdyż mam UDOWODNIĆ, nie policzyć. Teza już jest, ale jak to zapisać, abym mógł powiedzieć "proszę, tutaj jest dowód".
PS. Dodam, że jestem samoukiem, mój profil technikum jest tylko w niewielkiej części związany z elektroniką, stąd te problemy.

[rafal.220]

Też jestem samoukiem.
Jak na razie nie miałem potrzeby stosowania całek w układach RLC. (na chwilę obecną nie są mi one potrzebne)

[tg3a]

Witam.
Problem polega na tym, jakie wzory można uznać za podstawowe.
Tak najbardziej "ab ovo" to należałoby przyjąć za podstawę przebieg prądu w postaci np. I=Io*cos(ωt), wówczas z prawa Ohma U_r=R*Io*cos(ωt) (to oczywiście wiesz), natomiast U_c należałoby policzyć z podstawowego równania opisującego kondensator: U=Q/C, gdzie ładunek jest po prostu całką oznaczoną z prądu, wziętą w granicach całkowania od 0 do t.
Oczywiście to wykracza poza typowy poziom nauki w technikum (a w każdym razie wykraczało w moich czasach), więc myślę, że można tu przyjąć za wiedzę podstawową, że U_c=Xc*Io*cos(ωt-Π/2), czyli, że napięcie na kondensatorze jest równe co do modułu iloczynowi prądu przez reaktancję kondensatora (wzór na tę reaktancję też znasz, zresztą rafal.220 go przytoczył), ale jest opóźnione o 90°, czyli Π/2.
Całe napięcie zasilające układ to po prostu suma U_r+U_c.
Średnia moc wydzielająca się w oporniku to, jak podano w zadaniu, średnia wartość (U_r)^2/R, co w przypadku przyjęcia za podstawę prądu sprowadza się do średniej wartości I^2*R. W celu policzenia średniej za okres trzeba zastosować wzór cos^2(x)=0.5+0.5*cos^2(2x); średnia wartość 1-szego składnika to 0.5, a 2-giego to 0 (bierzemy tutaj dwa pełne okresy, bo jest 2x, a kosinusoida jest jednakowa co do powierzchni nad osią i pod osią).
Średnia moc wydzielająca się w całym układzie to średnia wartość (U_r+U_c)*I. Po wymnożeniu i podstawieniu otrzymamy 1-szy składnik identyczny z mocą wydzielaną w oporniku, i wystarczy zająć się tym drugim.
Tu z kolei przydadzą się następujące wzory z trygonometrii:
cos(x-Π/2)=sin(x) (to wynika ze wzoru na kosinus różnicy lub ze wzorów redukcyjnych)
cos(x)*sin(x)=0.5*sin(2x) (zwykle znany w postaci 2*sin(x)*cos(x)=sin(2x))
I trzeba również zauważyć, że sin(2x) jest funkcją okresową, i tu też interesuje nas jej wartość średnia z dwóch okresów.
Oczywiście ta wartość średnia jest równa zeru, i stąd wynika, że obie moce są sobie równe.
Mam nadzieję, że poradzisz sobie z uzupełnieniem brakujących podstawień i przekształceń.
Powodzenia.