Postautor: tg3a » 17 paź 2008, o 23:30
Witam Cię. Przepraszam, że dopiero teraz się odzywam, ale nie zawsze mam tyle czasu, ile bym chciał.
Matematycy pewnie by się z Tobą nie zgodzili odnośnie przydatności wzorów i definicji, ale nie wszyscy muszą być matematykami. W sumie i tak dobrze, że po zrobieniu odpowiedniej liczby przykładów zaczynasz poszczególne zagadnienia rozumieć.
Na dzisiaj pewnie zdążę coś napisać tylko o pochodnych. W zasadzie wiele zadań z pochodnych daje się rozwiązać bez zrozumienia samej definicji pochodnej, a tylko na zasadzie nauczenia się korzystania z wzorów. Ale bywają i takie zadania, gdzie jest polecenie policzenia pochodnej w oparciu o definicję, lub trzeba coś udowodnić, i inaczej się nie da.
A więc zacznijmy. Twój rysunek jest niezłą ilustracją do definicji pochodnej, tylko dla ujednoznacznienia sytuacji należałoby na nim dodać oznaczenia. Na tym rysunku jest wykres jakiejś funkcji f(x), i na tym wykresie są zaznaczone 2 punkty, oraz są one zrzutowane na osie OX i OY dla pokazania współrzędnych tych punktów. Więc chodzi mi o to, aby wprowadzić oznaczenia tych współrzędnych. Jeden z tych punktów (zwykle przyjmuje się, że ten po lewej stronie, ale nie jest to konieczne) ma współrzędne oznaczane przez (x,y) lub (x0,y0), a ten drugi - przykładowo (x1,y1). Występujące po prawej stronie wzoru wartości Δx i Δy są równe:
Δx=x1-x i odpowiednio Δy=y1-y. Iloraz Δy/Δx jest nazywany w matematyce ilorazem różnicowym funkcji.
Definicja pochodnej funkcji f(x) w punkcie x (ewentualnie x0, gdyby przyjąć takie oznaczenie) mówi nam, że jest to granica ilorazu różnicowego funkcji przy Δx dążącym do zera. Przyjmuje się przy tym, że to dążenie do zera przyrostu Δx odbywa się w ten sposób, że jeden z tych punktów (a mianowicie ten, którego współrzędna oznaczona jest jako x bądź x0) pozostaje w stałym miejscu, a drugi z punktów, o współrzędnej oznaczonej jako x1, zbliża się do niego.
Gdyby przez punkty (x,y) i (x1,y1) poprowadzić prostą, to wartość ilorazu różnicowego Δy/Δx jest wartością tangensa kąta nachylenia tej prostej do osi OX, czyli mówi nam, jak stromo ta prosta wznosi się w górę. Oczywiście, gdyby wykres funkcji wyglądał inaczej, mogłoby się okazać, że punkt (x1,y1) leży niżej, niż punkt (x,y), przyrost Δy jest ujemny, i ta prosta nie wznosi się, a opada.
Wracając do naszej definicji pochodnej, tak narysowana prosta przecina wykres funkcji w punktach (x,y) i (x1,y1), i w związku z tym jest tzw. sieczną wykresu funkcji (bo odcina na tym wykresie odcinek krzywej między tymi dwoma punktami). Zmierzanie Δx do zera, czyli zbliżanie się punktu (x1,y1) do punktu (x,y) oznacza, że ta sieczna będzie odcinała coraz mniejszy odcinek wykresu funkcji, aż w granicy stanie się styczną do wykresu funkcji w punkcie (x,y). Czyli wartość pochodnej mówi nam, jak stroma jest funkcja w tym punkcie (bo funkcja jest tak samo stroma, jak stroma jest prosta przyłożona do niej gładko w tym punkcie, czyli styczna).
Teraz jeszcze jedna interpretacja ułatwiająca zrozumienie pochodnej. Przyjmijmy, że zmienna x jest to czas, a zmienna y, czyli wartość funkcji, wyraża położenie jakiegoś obiektu poruszającego się wzdłuż osi OY.
Jeśli w jakimś momencie x (zgodnie z założeniem x oznacza czas, choć typowo, zwłaszcza w fizyce, czas oznacza się literą t) obiekt zajmuje pozycję y, a w momencie x1 pozycję y1, to iloraz różnicowy Δy/Δx oznacza prędkość średnią tego obiektu na obszarze między y a y1 i na przestrzeni czasu między chwilą x a x1. Teraz, rozpatrując zmniejszanie się Δx do zera, otrzymamy w granicy prędkość chwilową rozważanego obiektu w momencie x i punkcie o współrzędnej y. Tak więc możemy pochodną postrzegać ogólnie jako szybkość zmiany wielkości y (czyli wartości funkcji), czyli w tym przypadku szybkość zmiany pozycji.
Nie wiem, czy moje objaśnienia coś Ci dały, i czy to jest wszystko, czego oczekujesz, czy też mam Ci przedstawić jakieś przykłady na liczenie pochodnej z definicji, lub też wzory na pochodną i przykłady ich stosowania. Tak jak napisałem, jutro (a właściwie już dziś) spróbuję napisać coś o całkach, chyba że będziesz chciał, by temat pochodnej poszerzyć.
Życzę sukcesów w potyczkach z matematyką, oraz w dziedzinach, w których ona znajduje zastosowanie (m.in. w elektronice).
P.S. Słynny fizyk Michael Faraday był w dużej mierze samoukiem, i żałował, że nie zna dostatecznie matematyki, gdyż nie miał narzędzia do analizy i opisu swoich odkryć.
Szacunek.