Dlaczego cosinus jest podstawową funkcją w technice?

[Darlington]

Witam!
Zastanawia mnie ostatnio, dlaczego wszystko modeluje się w technice za pomocą funkcji harmonicznych (sinus/cosinus). Przecież to zwykłe funkcje. A jak człowiek idzie na politechnikę to wszystko się z sinusa/cosinusa wywodzi i na sinusach/cosinusach kończy. Ze wspomnę Transformatę Fouriera, Szereg Fouriera, kupę innych transformat, funkcję Bessela, wymuszenie, odpowiedź układu, itp itd.

Wszystko jest w technice cosinusem. Ja się pytam: dlaczego cosinus jest taki ważny i skąd wiemy, że to akurat on a nie np. funkcja prostokątna (przebieg prostokątny). Niby przebieg prostokątny też da się rozłożyć na sumę cosinusów (!!! szereg Fouriera), ale mamy efekt Gibbsa więc niezupełnie!

Widzę tysiące wzorów bo jestem na III roku EiT i w 99% z nich jest sinus albo cosinus!!!

Już nie wspomnę o tym, że w każdej modulacji nośną jest cosinus!!! Wiem, ze to wypada lepiej mocowo bo np. nośna prostokątna nie jest tak efektywna, ale do diaska - wszędzie cosinus?

Napięcie wylatujące z gniazdka ma świadomie przebieg sinusoidalny bo tak zaprojektował to człowiek.

Mi chodzi o coś zupełnie innego - wszelkie wzory modelujące w większym czy mniejszym stopniu rzeczywistość i różnorakie relacje i zależności fizyczne mają w sobie cosinusy albo sinusy. Czyli z tego by wynikało że nasza rzeczywistość jest złożeniem funkcji harmonicznych. Przecież natura nie zna pojęcia szerokości pasma czy zależności energetycznych a jednak wszystko jest sinusem!

Nie rozumiem skąd się to bierze, przecież sinus jest taką samą funkcją jak każda inna, czemu sinus a nie signum, funkcja Dirichleta czy skok jednostkowy?

Kwestia pasma: dobra, widmo cosinusa to dwa diracki czyli pasmo nieskończenie wąskie ale tu już jest kwestia interpretacji człowieka bo tak się przyjęło że widmo to jest jakby ciągły w czasie szereg Fouriera. Jakby za funkcję podstawową uznać np. przebieg prostokątny to sam w sobie też by miał nieskończenie wąskie widmo - kwestia interpretacji.

Jest mnóstwo funkcji okresowych - czemu akurat sinus? Piszesz, że to podstawowe funkcje okresowe. A ja mówię: guzik prawda. Czy podstawowe to zależy od punktu widzenia - ja równie dobrze mogę sobie przyjąć za podstawowy przebieg trójkątny czy piłokształtny i w oparciu o niego zrobić nową analizę fourierowską itp. I co, też w 99% wzorów będzie piła? Przecież przebieg trójkątny czy piłokształtny też jest okresowy. I nie mów, że sinus jest podstawowym tonem, bo równie dobrze w innym układzie odniesienia to piłokształtny może być podstawowym tonem o jednej częstotliwości a sinusa możemy sobie złożyć z sumy przebiegów piłokształtnych.

Mam problem żeby jakoś sobie w głowie poukładać czemu tak jest, może to wcale nie sinus jest podstawowym przebiegiem... Może Fourier się mylił. Przecież gdyby sinus był taki idealny, to za jego pomocą dało by się uzyskać każdy przebieg - a tak nie do końca jest - co prawda jest szereg Fouriera ale ma on dużo wyjątków (nie każdy przebieg da się złożyć z sumy funkcji harmonicznych) no i efekt Gibbsa. I kto mi teraz powie, że sinus jest idealny?

I dochodzimy do sedna - dlaczego cosinus/sinus?

Więc czemu to cos/sin są wszędzie??

[jarekz]

(...)wszelkie wzory modelujące w większym czy mniejszym stopniu rzeczywistość i różnorakie relacje i zależności fizyczne mają w sobie cosinusy albo sinusy(...)Nie rozumiem skąd się to bierze, przecież sinus jest taką samą funkcją jak każda inna, czemu sinus a nie signum, funkcja Dirichleta czy skok jednostkowy?(...)

To proste. Nasz świat opisują równania różniczkowe. A funkcja sinus jest często spotykanym rozwiązaniem równania 2. rzędu.
Zauważ też, że jeszcze częściej spotykamy w przyrodzie rzeczywistą funkcję wykładniczą, która jest rozwiązaniem typowego równania 1. rzędu.
I tak dochodzimy do funkcji wykładniczej zespolonej A*exp[(B+jC)t], która niejako zawiera obie funkcje: wykładniczą i sinus/cosinus. Suma takich funkcji jest rozwiązaniem każdego liniowego równania różniczkowego dowolnego rzędu. I takie właśnie funkcje (a nie prostokąty czy delty Diraca) spotykamy na każdym kroku wokół nas...

[pajaczek]

Darlington, Małe załamanie w połowie semestru??

To w wolnej chwili zastanów się jeszcze, dlaczego tak ochoczo używamy systemu dziesiętnego, a nie np. dwunastkowego??

I nie martw się, chyba każdy rozwinięty student przechodzi takie rozterki wewnętrzne... a jak to się sprawdza przy dyskusjach do białego rana przy czerwonym winie (względnie żółtym innym napoju).

[Darlington]

Darlington, Małe załamanie w połowie semestru??

Jakie znowu załamanie, po prostu ostatnio mam taką rozkminę.

To w wolnej chwili zastanów się jeszcze, dlaczego tak ochoczo używamy systemu dziesiętnego, a nie np. dwunastkowego??

Tego też nie rozumiem. Dwunastkowy ma większą pojemność informacyjną - tą samą liczbę da się często zapisać za pomocą mniejszej liczby cyfr. A dziesiątkowy się po prostu przyjął - nie wiem, dlaczego. Pewnie dlatego, że człowiek ma 10 palców u rąk. Ja bym wolał hexa

I nie martw się, chyba każdy rozwinięty student przechodzi takie rozterki wewnętrzne... a jak to się sprawdza przy dyskusjach do białego rana przy czerwonym winie (względnie żółtym innym napoju).

hehe dzięki, pocieszyłeś mnie. Po prostu widzę, że wszystko modeluje się paroma funkcjami matematycznymi i zastanawiam się, czy to ma sens - czy to jest prawidłowy model - czy nie lepiej byłoby stablicować wartości np. propagacji fali w fiderze czy użyć przebiegu piłokształtnego jako podstawowego tonu w analizie fourierowskej...

Dodane po namyśle:
jarekz, no właśnie Ty rozumujesz za przeproszeniem od dupy strony. Że rzeczywistość opisują równania różniczkowe i przyjmujesz to za aksjomat. A ja się zastanawiam na odwrót: czy tak naprawdę jest? Czy nie ma lepszej funkcji niż sinus do opisu zjawisk?

// a o łączenie postów czy możliwość usunięcia własnego postu można się prosić w nieskończoność, admin umarł czy jak?

Edited by Pajączek:

Łączenia postów pewnie userzy nie dostaną, ale kasowanie postu jeżeli jest ostatni w temacie mogło by być udostępnione. Nawet się swego czasu zdziwiłem że nie jest, ale cóż.
Ps. scaliłem Twoje posty jak pewnie zauważyłeś.
Warto na przyszłość za wczasu pomyśleć, i użyć opcji edytuj zamiast nowego posta.

[jarekz]

(...)jarekz, no właśnie Ty rozumujesz za przeproszeniem od dupy strony. Że rzeczywistość opisują równania różniczkowe i przyjmujesz to za aksjomat. A ja się zastanawiam na odwrót: czy tak naprawdę jest? Czy nie ma lepszej funkcji niż sinus do opisu zjawisk?

Nie wiem, z jaką częścią ciała można powiązać moje rozumowanie, ale... Spójrz na problem od innej strony. Co powiesz na taką definicję: „równania różniczkowe są to takie równania, które opisują świat fizyczny (makroskopowy)“?
A ponieważ:
- w przybliżeniu są to równania liniowe,
- funkcje: wykładnicza i sinus/cosinus (ogólnie: wykładnicza zespolona) są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych,
to i funkcje spotykane w przyrodzie, gdzie nie spojrzeć, są typu „wykładnicza zespolona“...
A co to jest równanie różniczkowe? To nie jakaś abstrakcja lecz zwykła zależność między wielkością fizyczną a prędkością zmian tej wielkości, prędkością prędkości itd. Przecież to nie naukowcy wymyślili funkcję wykładniczą. To wielkość fizyczna „układa się“ w kształt tej funkcji, no bo... tak już jest...

[Darlington]

A co to jest równanie różniczkowe? To nie jakaś abstrakcja lecz zwykła zależność między wielkością fizyczną a prędkością zmian tej wielkości, prędkością prędkości itd.

Moim zdaniem mylisz sie, To jest właśnie abstrakcja, model wymyślony przez człowieka. Co nie znaczy wcale, że rzeczywistość jest tym modelem.

Przecież to nie naukowcy wymyślili funkcję wykładniczą.

Jak to nie? Sama się nie wymyśliła.

[Czajnik]

Chłopaki nie wiem co palicie ale zmieńcie dilera

Pozdrawiam
Czajnik

[Darlington]

Chłopaki nie wiem co palicie ale zmieńcie dilera

Ja nic nie palę.

Pozdrawiam również.

[end]

Chłopaki nie wiem co palicie ale zmieńcie dilera :621: :611:

Pozdrawiam
Czajnik

10/10 ;)

[Marian B]

A ja powtórzę to , co napisałem na forum elportalu:
Te rozważania teoretyczne mogę podsumować jednym stwierdzeniem, ludzkość musiała dużo się nabiedzić, zanim (doświadczalnie) zostało wynalezione koło. Tego wynalazku w chwili jego wynalezienia nikt nie kojarzył z jakimś tam sinusem czy kosinusem, chociaż to własnie jest sinus i kosinus w czystej postaci. Dlatego cały postęp techniczny jest oparty na tych funkcjach, bo trudno sobie wyobrazić wóz na kwadratowych kołach, chociaż taki kwadrat jest pierwszym (lub drugim, po trójkącie) przybliżeniem koła.